નિશ્ચિત સંકલન $\int_{1}^{2} \frac{5 x^{2}}{x^{2}+4 x+3} dx$ ની કિંમત શોધો.

(A) ધારો કે $I = \int_{1}^{2} \frac{5 x^{2}}{x^{2}+4 x+3} dx$.
$5x^2$ ને $x^2+4x+3$ વડે ભાગતા,આપણને $5 - \frac{20x+15}{x^2+4x+3}$ મળે છે.
તેથી,$I = \int_{1}^{2} 5 dx - \int_{1}^{2} \frac{20x+15}{x^2+4x+3} dx = [5x]_{1}^{2} - I_1 = 5 - I_1$,જ્યાં $I_1 = \int_{1}^{2} \frac{20x+15}{x^2+4x+3} dx$.
$I_1$ ઉકેલવા માટે,ધારો કે $20x+15 = A(2x+4) + B$. સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$2A = 20 \Rightarrow A = 10$ અને $4A+B = 15 \Rightarrow 40+B = 15 \Rightarrow B = -25$.
તેથી,$I_1 = \int_{1}^{2} \frac{10(2x+4) - 25}{x^2+4x+3} dx = 10 \int_{1}^{2} \frac{2x+4}{x^2+4x+3} dx - 25 \int_{1}^{2} \frac{dx}{(x+2)^2 - 1^2}$.
$I_1 = [10 \ln|x^2+4x+3|]_{1}^{2} - 25 [\frac{1}{2} \ln|\frac{x+2-1}{x+2+1}|]_{1}^{2} = [10 \ln|x^2+4x+3|]_{1}^{2} - \frac{25}{2} [\ln|\frac{x+1}{x+3}|]_{1}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા: $I_1 = (10 \ln 15 - 10 \ln 8) - \frac{25}{2} (\ln \frac{3}{5} - \ln \frac{2}{4}) = 10 \ln \frac{15}{8} - \frac{25}{2} \ln \frac{6}{5}$.
અંતે,$I = 5 - (10 \ln \frac{15}{8} - \frac{25}{2} \ln \frac{6}{5}) = 5 - 10 \ln \frac{15}{8} + \frac{25}{2} \ln \frac{6}{5}$.